CHI SQUARE

Mei 26, 2010 · Disimpan dalam umum

STATISTIKA

PENDAHULUAN

I.I    Pengertian
Chi square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi atau yang benar-benar terjadi atau aktual dengan frekuensi harapan. Yang dimaksud dengan frekuensi harapan adalah frekuensi yang nilainya dapat di hitung secara teoritis (e). sedangkan dengan frekuensi observasi adalah frekuensi yang nilainya di dapat dari hasil percobaan (o).
Dalam statistik, distribusi chi square termasuk dalam statistik nonparametrik. Distribusi nonparametrik adalah distribusi dimana besaran-besaran populasi tidak diketahui. Distribusi ini sangat bermanfaat dalam melakukan analisis statistik jika kita tidak memiliki informasi tentang populasi atau jika asumsi-asumsi yang dipersyaratkan untuk penggunaan statistik parametrik tidak terpenuhi.
Beberapa hal yang perlu diketahui berkenaan dengan distribusi chi square adalah :
Distribusi chi square memiliki satu parameter yaitu derajad  bebas (db).
Nilai-nilai chi square di mulai dari 0 disebelah kiri, sampai nilai-nilai       positif tak terhingga di sebelah kanan.
Probabilitas nilai chi square di mulai dari sisi sebelah kanan.
Luas daerah di bawah kurva normal adalah 1. Nilai dari chi square bisa dicari jika kita memiliki informasi luas daerah disebelah kanan kurva serta derajad bebas. Misalnya jika luas daerah disebelah kanan adalah 0,1 dan derajad bebas sebanyak 7, maka nilai chi square adalah 12, 017.
Dalam statistik, distribusi chi square digunakan dalam banyak hal. Mulai dari pengujian proporsi data multinom, menguji kesamaan rata-rata Poisson serta pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis yang menggunakan dasar distribusi chi square misalnya Goodness-of-fit test, pengujian indepensi, pengujian homogenitas serta pengujian varians dan standar deviasi populasi tunggal.
I.I    Bentuk Distribusi Chi Square
Nilai chi square adalah nilai kuadrat karena itu nilai chi square selalu positif. Bentuk distribusi chi square tergantung dari derajat bebas (Db)/degree of freedom. Pengertian pada uji chi square sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan Ho atau taraf nyata pengujian.

PENGGUNAAN CHI SQUARE

II.I    Penggunaan Uji Chi Square

Uji chi square dapat digunakan untuk :
a.  Uji Kecocokan = Uji Kebaikan Suai = Goodness of Fit
b.  Uji Kebebasan
c.  Uji Beberapa Proporsi (Prinsip pengerjaan (b) dan (c) sama saja).

II.II    Penjelasan Kegunaan dalam Uji Chi Square

Uji Kecocokan  = Goodness of Fit
Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif
Ho : Frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai / perbandingan
Ha : Ada kategori yang tidak memenuhi nilai / perbandingan tersebut

Rumus :

Dimana :

c2  : Chi Square hitung
Fo  : Frekuensi data yang diperoleh dari observasi
Fe  : Frekuensi data yang diharapkan secara teoritis
k  : Banyaknya kategori / sel 1, 2, ……….., k

Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi.
Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

1.    UJI KEBEBASAN
Ho : Variabel – variable saling bebas
Ha : Variabel – variabel tidak saling bebas

2.    UJI BEBERAPA PROPORSI
Ho : Setiap proporsi bernilai sama
Ha : Setiap proporsi tidak bernilai sama

Rumus :

k    (Foij – Feij)^2
c2 Hit =      S
i=1         Feij

Keterangan :
Foij                               : Frekuensi observasi ke-I, kolom ke-j
Feij                                : Frekuensi ekspektasi ke-I, kolom ke-j
Total Kolom             : Jumlah individu dalam kolom
Total Baris                   : Jumlah individu dalam baris
Total Observasi          : Banyaknya individu dalam semua  sampel

Langkah-langkah Hipotesis.

Membuat hipotesis nol (Ho) dan hipotesis alternatif (Ha)
Ho : P1 = P2 = ……….. = Pk
Ha : P1 # P2 # ……….. # Pk
Tentukan taraf nyata (a)
Tentukan derajat bebas (db)
Untuk uji kecocokan = kebaikan suai dimana m adalah parameter estimator
yang bernilai 0 : Db = k – m – 1 Untuk uji kebebasan : Db = (k – 1) (b – 1)
4.    Tentukan wilayah kritis (c2 tabel)
c2 tabel = c2 (a ; Db)
5.    Tentukan c2 hitung (berdasarkan rumus)
6.    Keputusan
Daerah penolakan (Ho)
0    c2 (a ; Db)
7.  Kesimpulan

II.III     Uji Kecocokan
Penggunaan distribusi chi square untuk menguji Goodness-of-fit. Dalam Goodness-of-fit test ada hal-hal yang harus diperhatikan yaitu:
Adanya frekuensi observasi atau frekuensi yang benar-benar terjadi dalam eksperimen dan dilambangkan dengan O.
Adanya frekuensi yang diharapkan terjadi yang dilambangkan dengan

Derajad bebas adalah k – 1 dimana k adalah jumlah kategori. Misalnya jika kita melempar dadu, maka aka nada 6 kategori kejadian sehingga k = 6. Dengan demikian db = 6 – 1 = 5.
Nilai chi square hitung diperoleh dari rumus:

Jumlah sampel yang digunakan harus mencukupi nilai harapan paling sedikit 5 (E > 5).

Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif
Ho : Frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai / perbandingan
H1 : Ada kategori yang tidak memenuhi nilai / perbandingan tersebut

Rumus :

Dimana :

c2  : Chi Square hitung
Fo  : Frekuensi data yang diperoleh dari observasi
Fe  : Frekuensi data yang diharapkan secara teoritis
k  : Banyaknya kategori / sel 1, 2, ……….., k
Contoh :
1. Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara coklat : gula : susu :  krim = 5 : 2 : 2 : 1

Jawab :
Ho : Perbandingan coklat : gula : susu :  krim = 5 : 2 : 2 : 1
H1 : Perbandingan coklat : gula : susu :  krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1
Nilai  = 1 % = 0.01
nilai tabel c2
K = 4; db = k – 1 = 4 – 1 = 3
Db = 3;   = 0.01             c2 tabel = 11.3449
nilai kritis = penolakan Ho jika c2 hitung > c2 tabel ( db;  )
c2 hitung > 11.3449
Nilai hitung :

ket    o1    e1    (o1-e1)    (o1-e1)^2    (o1-e1)^2/e1
Coklat    275    250*)    25    625    2.50
Gula    95    100    -5    25    0.25
Susu    70    100    -30    900    9.00
Krim    60    50    10    100    2.00
∑    500    500    …    …    13.75

*)    Per

Perbandingan coklat : gula : susu :  krim = 5 : 2 : 2 : 1
Dari 500 kg adonan :
Nilai ekspektasi coklat = 5/10 x 500 = 250 kg
Nilai ekspektasi gula = 2/10 x 500 = 100 kg
Nilai ekspektasi susu = 2/10 x 500 = 100 kg
Nilai ekspektasi krim = 1/10 x 500 = 50 kg
Jadi nilai hitung : 13.75
Keputusan : Ho ditolak, Terima H1
Kesimpulan :
Karena nilai hitung > c2 tabel ( 13.75 > 11.3449 )
Perbandingan coklat : gula : susu :  krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1

Ho                                       H1

11.3449            13.75

Pada pelemparan dadu sebanyak 120x menghasilkan data sbb :

kategori    1    2    3    4    5    6    Total
Fo    20    22    17    18    19    24    120

Ujilah dengan menggunkan taraf nyata 5% apakah pelemparan dadu tersebut merata atau tidak merata?

Jawab :

1. Ho : Pelemparan dadu merata
Ha  : Pelemparan dadu tidak merata

2. a = 5% = 0,05

3. Db = k – m – 1 = 6 –  0 – 1 = 5

4. Wilayah kritis
c2 tabel = c2 (a ; Db)
= c2 (0,05 ; 5) = 11,0705

5.  Nilai hitung
k      (Foj – Fe)^2
c2 Hit = S
i=1          Fe

Fo    Fe    (Fo – Fe)^2    (Fo – Fe)^2/Fe
20    20    0    0
22    20    4    0.20
17    20    9    0.45
18    20    4    0.20
19    20    1    0.05
24    20    6    0.80
120    120        1.70

6.  Keputusan : Terima Ho, Tolak H1

7.  Kesimpulan :
Pelemparan dadu sebanyak 120x merata

Ho                  H1

1.70           11.0705

II.II    Uji Kebebasan

Uji kebebasan antara 2 variable memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian beberapa proporsi. ( berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan Hipotesis alternatif ).

Rumus :
Data dalam pengujian ketergantungan dan beberapa proporsi disajikan dalam bentuk tabel kontingensi. Bentuk umum tabel kontingansi berukuran r ( baris ) x k ( kolom ).

Contoh :

Tabel dibawah ini memperlihatkan hasil penelitian dari 300 sampel suatu produk selama 3 hari pengamatan.

ket    Sampel hari 1    Sampel hari 2    Sampel hari 3    Total
Jml Produk rusak    12    15    6    33
Jml produk baik    88    105    74    267
Jumlah    100(x1)    120(x2)    80(x3)    300

Berdasarkan tabel di atas, ujilah menggunakan taraf nyata 5%. Apakah jumlah produk yang rusak disebabkan oleh faktor kebetulan atau faktor lain yang benar- benar berarti (Misal faktor bahan baku, tenaga kerja, mesin yang sudah tua, dbs).

Jawab :

1.  Ho : Produk rusak terjadi karena faktor kebetulan
H1 : Produk rusak terjadi karena faktor lain yg benar – benar berarti

2.  Taraf nyata : a = 5% = 0,05

3.  Derajat bebas
Db = (k – 1) (b – 1) ; Db = (3 – 1) (2 – 1) = 2

4.  Wilayah kritis
c2 tabel = c2 (a ; Db)
= c2 (0,05 ; 2) = 5,991
5.  Nilai hitung
k      (Foij – Feij)2
c2 Hit = S
i=1         Feij

Fe11 = (33 x 100) / 300     = 11
Fe21 = (33 x 120) / 300     = 13,2
Fe31 = (33 x 80) / 300       = 8,8
Fe12 = (267 x 100) / 300    = 89
Fe22 = (267 x 120) / 300    = 106,8
Fe23 = (267 x 80) / 300    = 71,2

Fo    Fe    (Fo – Fe)^2    (Fo – Fe)^2 / Fe
12    11    1    0.09
15    13.2    32.4    0.25
6    8.8    7.84    0.89
88    89    1    0.01
105    106.8    3.24    0.03
74    71.2    7.84    0.11
total            1.38

6.  Keputusan : Terima Ho, Tolak H1
7.  Kesimpulan :
Produk rusak terjadi karena faktor kebetulan

Ho                     H1

1.38                 5.991

(berbagai sumber)